Komposisi Fungsi Dan Fungsi Invers

 Pengertian Komposisi Fungsi
     Dalam pasal ini kita akan membahas suatu metode untuk menggabungkan fungsi yang dikenal sebagai komposisi fungsi. Metode ini berlandaskan pada proses aljabar yang sudah umu yaitu substitusi. 
      Diberikan dua fungsi f dan g fungsi f o g ditentukan oleh formula (f o g)(x) = f [g(x)]
      Domain dari (f o g) terdiri atas masukan :

Sebagai contoh, perhatikan fungsi f dan g yang didefinisikan oleh :  f(x) =  x2 dan g(x) = 3x+1
a. Menentukan (f o g) (x)
(f o g) (x) = f[g(x)]
                =  f(3x+1) 
                =  (3x+1)2
(f o g) (x) = 9x2 + 6x + 1

b. Menentukan ( g o f ) (x)
(g o f) (x) = g (x2 )
               = 3(x)+1
               = 3x2+1

Fungsi Invers

Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi.

Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Perhatikan pengertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers pada suatu fungsi dan komposisi fungsi.

Soal Komposisi Fungsi Dan Funsi Invers

  1. Dietahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6 dan g(x) = 2x – 1. Jika nilai (fog)(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah … 
A.  3⅔ dan -2
B.  2-3⅔ dan -2
C.  23/11 dan -2
D.  2-3⅔ dan -2
E.  -3/11 dan 2


Pembahasan :
Untuk menjawab soal di atas, kembali kita ingat konsep fungsi komposisi. Jika diberikan dua buah fungsi f(x) dan g(x), maka komposisi kedua fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
(fog)(x) = f(g(x))

Keterangan :
Substitusi fungsi g(x) ke fungsi f(x), dengan kata lain ganti nilai x pada fungsi f(x) menjadi g(x).

(gof)(x) = g(f(x))

Keterangan :
Substitusi fungsi f(x) ke fungsi g(x), dengan kata lain ganti nilai x pada fungsi g(x) menjadi f(x).

Berdasarkan konsep tersebut, maka kita peroleh :
⇒ (fog)(x) = f(g(x))



Pada soal diketahui f(x) = 3x2 – 4x + 6 dan g(x) = 2x – 1, maka f(g(x)) artinya ganti nilai x pada 3x2 – 4x + 6 dengan 2x – 1 sebagai berikut :
⇒ (fog)(x) = f(2x-1)
⇒ (fog)(x) = 3(2x -1)2 – 4(2x – 1) + 6
⇒ (fog)(x) = 3(4x2 – 4x + 1) – 8x +  4 + 6
⇒ (fog)(x) = 12x2 – 12x + 3 – 8x +  4 + 6
⇒ (fog)(x) = 12x2 – 20x + 13


Kemudian, karena pada soal diketahui (fog)(x) = 101, maka :
⇒ (fog)(x) = 101⇒ 12x2 – 20x + 13 = 101
⇒ 12x2 – 20x + 13 – 101 = 0
⇒ 12x2 – 20x – 88 = 0
⇒ 3x2 – 5x – 22 = 0
⇒ (3x – 11)(x + 2) = 0
⇒ x = 11/3 atau x = -2


Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 3⅔ dan -2.
Jawaban : A

2. Jika diketahui f(x) = x2 + 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1, maka hasil dari fungsi komposisi (gof)(x) adalah ….
A. 2x2 + 8x – 11
B. 2x2 + 8x – 6
C. 2x2 + 8x – 9
D. 2x2 + 4x – 6
E. 2x2 + 4x – 9

Pembahasan : 
Sesuai dengan konsep fungsi komposisi, fungsi g komposisi f dapat dirumuskan sebagai berikut :
(gof)(x) = g(f(x))

Keterangan :
Substitusi fungsi f(x) ke fungsi g(x), dengan kata lain ganti nilai x pada fungsi g(x) menjadi f(x).

Pada soal diketahui  f(x) = x2 + 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1, maka (gof)(x) itu artinya ganti x pada 2x – 1 menjadi x2 + 4x – 5 sebagai berikut :
⇒ (gof)(x) = g(x2 + 4x – 5)
⇒ (gof)(x) = 2(x2 + 4x – 5) – 1
⇒ (gof)(x) = 2x2 + 8x – 10 – 1
⇒ (gof)(x) = 2x2 + 8x – 11
Jawaban : A

3. Diketahui f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x, maka (fog)-1(x) sama dengan …
A. 2x + 8
B. 2x + 4
C. ½x – 8
D. ½x – 4
E. ½x – 2

Pembahasan :
(fog)-1(x) merupakan invers dari (fog)(x), maka untuk menjawab soal di atas kita harus mencari komposisi (fog)(x) terlebih dahulu.

Fungsi komposisi (fog)(x) dapat kita cari berdasarkan konsep berikut :
(fog)(x) = f(g(x))

Keterangan :
Substitusi fungsi g(x) ke fungsi f(x), dengan kata lain ganti nilai x pada fungsi f(x) menjadi g(x).

Pada soal diketahui f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x, maka (fog)(x) artinya ganti x pada x + 4 menjadi 2x, sebagai berikut : 
⇒ (fog)(x) = f(2x)
⇒ (fog)(x) = 2x + 4

Selanjutnya kita tentukan invers dari fungsi komposisi yang sudah kita peroleh. Caranya, kita misalkan (fog)(x) = y kemudian kita tentukan x nya sesuai dengan langkah berikut :
⇒ (fog)(x) = 2x + 4 
⇒ y = 2x + 4
⇒ y – 4 = 2x
⇒ x = (y – 4)/2
⇒ x = ½y – 2

Langkah terakhir kembalikan x menjadi  (fog)-1(x) dan y menjadi x sehingga kita peroleh invers dari (fog)(x) sebagai berikut :
⇒ (fog)-1(x) = ½x – 2
Jawaban : E
4. Jika diketahui g(x) = x + 1 dan (fog)(x) = x2 + 3x + 1, maka f(x) sama dengan …
A. x2 + 5x + 5
B. x2 + x – 1
C. x2 + 4x + 3
D. x2 + 6x + 1
E. x2 + 3x – 1

Pembahasan :
Berdasarkan konsep komposisi, maka kita peroleh :
⇒ (fog)(x) = x2 + 3x + 1
⇒ f(g(x)) = x2 + 3x + 1
⇒ f(x + 1) = x2 + 3x + 1

Untuk mencari f(x), kita bisa melakukan pemisalan.
Misal x + 1 = p, maka x = p – 1

Selanjutnya, ganti x pada persamaan  f(x + 1) = x2 + 3x + 1 dengan p – 1 sehingga kita peroleh :
⇒ f(x + 1) = x2 + 3x + 1
⇒ f(p) = (p – 1)2 + 3(p – 1) + 1 
⇒ f(p) = p2 – 2p + 1 + 3p – 3 + 1
⇒ f(p) = p2 + p – 1 

Langkah terakhir kita tentukan f(x) berdasarkan persamaan di atas. Jika f(p) = p2 + p – 1, maka f(x) diperoleh dengan cara ganti p menjadi x sebagai berikut :
⇒ f(p) = p2 + p – 1
⇒ f(x) = x2 + x – 1 
Jawaban : B


5. Suatu pemetaan f:R → R, g:R → R dengan (gof)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) sama dengan …
A. x2 + 2x + 1
B. x2 + 2x + 2
C. 2x2 + x + 2
D. 2x2 + 4x + 2
E. 2x2 + 4x + 1

Pembahasan :
Sesuai dengan konsep komposisi :
⇒ (gof)(x) = 2x2 + 4x + 5
⇒ g(f(x)) = 2x2 + 4x + 5

Karena f(x) belum diketahui dan g(x) = 2x + 3, maka ganti x pada 2x + 3 dengan f(x) sebagai berikut : 
⇒ 2(f(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 5
⇒ 2f(x) = 2x2 + 4x + 5 – 3
⇒ 2f(x) = 2x2 + 4x + 2
⇒ f(x) = x2 + 2x + 1
Jawaban : A
 
6. Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x2 + 2x − 3. Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) = ….
A.   2x2 + 4x − 9
B.   2x2 + 4x − 3
C.   4x2 + 6x − 18
D.   4x2 + 8x
E.   4x2 − 8x
Pembahasan
Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) artinya fungsi f(x) tersarang dalam fungsi g(x) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g(x).
        g(x) = x2 + 2x − 3
(g ∘ f)(x) = f2(x) + 2f(x) − 3
               = (2x − 3)2 + 2(2x − 3) − 3
               = 4x2 − 12x + 9 + 4x − 6 − 3
               = 4x2 − 8x
Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).
7. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) yaitu ….
A.   y = x2 − 2x + 1
B.   y = x2 − 2x + 3
C.   y = x2 + 2x − 1
D.   y = x2 + 2x + 1
E.   y = x2 − 2x − 3
Pembahasan
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik minimum atau puncak (pq) dirumuskan sebagai:
y = a(x − p)2 + q
Puncak grafik fungsi kuadrat yaitu (1, 2) sehingga diperoleh:
y = a(x − 1)2 + 2 
Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (2, 3). Titik ini dapat kita substitusikan untuk mendapat nilai a.
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2 
a = 1
Dengan demikian, persamaan fungsinya adalah:
y = 1(x − 1)2 + 2
   = x2 − 2x + 1 + 2 
   = x2 − 2x + 3 
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut yaitu y = x2 − 2x + 3 (B)
8. Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi yaitu ….
A.   p < −2 atau p > −2/5
B.   p < 2/5 atau p > 2
C.   p < −2 atau p >1 0
D.   2/5 < p < 2
E.   2 < p < 10
Pembahasan
Koefisien fungsi y = px2 + (p + 2)x − p + 4 adalah:
a = p
b = p + 2
c = −p + 4
Agar grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, diskriminan fungsi kuadrat tersebut harus bernilai positif.
                                  D > 0
                       b2 − 4ac > 0
    (p + 2)2 − 4p(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
                5p2 − 12p + 4 > 0
              (5p − 2)(p − 2) > 0
Diperoleh titik ekstrem:
p = 2/5 atau p = 2
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka interval terletak di sebelah kiri 2/5 atau di sebelah kana 2.
p < 2/5 atau p > 2
Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi yaitu opsi (B)
9. Jika grafik fungsi f(x) = x2 + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0 maka nilai p yang memenuhi yaitu ….
A.   –6
B.   –4
C.   –2
D.   2
E.   4
Pembahasan
Karena bersinggungan, maka parabola dan garis memiliki nilai yang sama di titik singgung.
                 y1 = y1
   x2 + bx + 4 = 3x + 4
 x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0
Selain itu, dua fungsi yang bersinggungan akan memiliki diskriminan sama dengan nol.
                      D = 0
           b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4∙1∙0 = 0
            (b − 3)2 = 0
                b − 3 = 0
                      b = 3
Jadi, nilai b yang memenuhi semoga parabola dan garis tersebut bersinggungan yaitu 3 (D).
10. Nilai a yang menjadikan fungsi kuadrat f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 definit positif yaitu ….
A.   a < 4/3
B.   a < 1 
C.   a > 1
D.   a > 4/3
E.   1 < a < 4/3
Pembahasan
Koefisien fungsi f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 adalah:
a = a − 1
b = 2a
c = a + 4
Definit positif berarti nilai f(x) selalu positif untuk semua harga x. Hal ini dapat terjadi kalau grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu x dan terletak di atas sumbu x sehingga tidak memiliki akar real (D < 0).
                                 D < 0
                       b2 − 4ac < 0
(2a)2 − 4(a − 1)(a + 4) < 0
    4a2 − 4(a2 + 3a − 4) < 0
   4a2 − 4a2 − 12a + 16 < 0
                     −12a + 16 < 0
                             −12a < −16
Masing-masing ruas dibagi −4 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah.
                                   3a > 4
                                     a > 4/3
Jadi, nilai a semoga fungsi kuadrat tersebut definit positif yaitu a > 4/3 (D).







Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s